La soluzione è 1 ora e 12 minuti. Sorpresi? Sì, no? Vediamoci un video…
Abbiamo detto che in un’ora il primo uomo dipinge metà della casa mentre il secondo ne dipinge un terzo. Quindi in un’ora i due uomini insieme dipingeranno 1/2 + 1/3 della casa ovvero 5/6 della casa. Dopo un’ora manca pertanto solamente 1/6 della casa da dipingere. Quanto impiegheranno per dipingere questo sesto? Ogni sesto della casa viene dipinto in 12 minuti, perché in un’ora (60 minuti) vengono dipinti 5 sesti della casa, pertanto 60/5 = 12 minuti. In definitiva per completare il lavoro i due uomini impiegheranno 1h e 12min.
Beh i calcoli sono semplici il punto è che non siamo abituati a questo tipo di ragionamento. Insomma, diciamocelo: siamo tutti un po’ giocatori di baseball!
Risoluzione del quesito… utilizzando la fisica.
Non è la prima volta che per risolvere questioni matematiche si cercano strategie risolutive dalla fisica (uno per tutti Bernoulli e la sua brachistocrona) ma credo possa essere un buon esempio di contaminazione che gli studenti sin dal primo anno di liceo possano apprezzare.
I due imbianchini possono essere visti come due persone A e B che si muovono sulla stessa retta in direzione opposte a velocità costante.
Possiamo supporre che i due distino tra loro 1 km e questa distanza modellizza la parete da colorare.
Assegniamo ad A la velocità (v_A ) =1/2 km/h perché da solo impiegherebbe 2 ore per completare la parete che, nel nostro modello si traducono in 2 ore per completare il km di strada. Analogamente assegniamo a B velocità (v_B ) =-1/3 km/h perché da solo impiegherebbe 3 ore per completare la parete e si muove in verso opposta ad A.
Siccome i due camminano l’uno verso l’altro fino ad incontrarsi in un certo punto intermedio:
la distanza che ciascuno di loro ha percorso dagli estremi da cui sono partiti corrisponde alla porzione di parete colorata da ciascuno dei due
l’istante in cui si incontrano sarà quindi il tempo totale impiegato dai due a colorare l’intera parete
Scrivendo quindi l’equazione del moto per i due e imponendo che si incontrino, ricaveremo la soluzione.
Di seguito si trovano i passaggi:
legge oraria di A: s_A (t)=1/2t
legge oraria di B: s_B (t)=1-1/3t
imponiamo l’incontro (ovvero sono nello stesso punto nello stesso istante)
1-1/3 t=1/2 t
da cui
5/6 t=1
Quindi t=6/5 di ora ovvero 1 ora e 12 minuti.
Grazie Cristina, interessante prospettiva.